Probability筆記63 - 關於Variance of Sum / Covariance的dependent continuous RV範例

Damn dependence!

標題很兇，因為沒有independence的話，算expectation/variance都要按照定義去乖乖積分，會算死真的，例如本篇這題。

範例

令X,Y有joint density:

求Var(X+Y)?

因為沒有independence，一切都要按照定義來算，發瘋。

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X,Y)

而Var(X) 用快速算法 = E(X^2) - E(X)^2
E(X^2)按照定義：（或是先求fx(X)，再對fx(X)積分，式子是一樣的）

E(X)^2按照定義：

所以Var(X) =

Var(Y)也如法泡製：

再來算Cov(X,Y):

最後終於可以湊成Var(X+Y):

這一題雖然是計算地獄，但是讓我重新複習了expectation的定義，釐清一些想法算是不錯，否則一直套用特定model的公式，久了會忘記原本的expectation定義要如何計算。