Probability筆記38 - Independent continuous RVs

Independent定義

以下三種情況都是X和Y為indepenet的證據 （if and only if relation)：

(1)
X和Y是independent continuous RV如果他們的joint density = marginal density X * marginal density Y：

(2) joint CDF可以拆成個別CDF的乘積：

(3) 用conditional probability來看：

以上的例子，可能牽涉把原本的joint density "factored" to 2 parts，所以能因式分解成單獨變數的函數的乘積，有可能(如果定義域不互相影響的話）就是independent RVs.

範例

假設有以下joint density:

首先觀察它是兩個x和y的函數乘積，所以已經說明X和Y是independent RVs。兩者個係數相乘變成1/150，所以:

fx(X) = a * (8-x^3)
fy(Y) = b * (5 - y)
a * b = 1/150

要求得a和b，我們可以直接對fx(X)做全隊硬域的積分，根據density的性質，這個積分值必須為1，因為這代表X的sample space發生的機率。

所以12*a = 1, a = 1/12

b = (1/150) / (1/12) = 2/25 （可以反過來算Y的density來驗證）。

Independent發生的必要條件之一：定義域要彼此獨立

所以如果定義域加上某些條件使得X和Y dependent，例如X<Y，或是X+Y = 5之類的，明顯的這兩個variables是dependent。

如果一個independent RVs的定義域畫在x-y平面上一定是一個rectangle (finite or infinite 面積）:

這樣X和Y才不會互相影響。