Probability筆記40 - Dependent RV examples

如果X 和 Y是dependent RVs，計算上就沒那麼簡單了，舉一例假設joint density如下：

注意x+y<=3這個條件已經說明了X和Y是dependent RVs。

在非0 density的(x,y)區間內，整體面積是9/2

所以要驗證這個joint density是否valid很簡單，由於其joint density為constant，所以
P(S) = 面積 * constant function = 9/2 * 2/9 = 1，得證。


(1) 試求P(X<=2)?

X<=2在（x,y）區間內佔的面積為：

 梯形區域
上底為 y=3-2 = 1
下底為3
高為2
面積 = (1+3)*2/2 = 4

所以P(梯形區域）= 梯形面積 * joint density = 4 * 9/2 = 8/9


(1) 試求density of X?

density of X的含義是當X=x時，所有Y=y的事件發生的機率，所以等於選定一個x，然後對joint density偏積分y:

y的積分區間為[0, 3-x]：

density of Y一樣是2/9 *(3-Y)，因為這是一個等腰三角形，對稱的。


最後可以驗證X Y的確是dependent，因為joint density != fx(X) * fy(Y)