Probability筆記34 - Joint Continuous RVs

Joint Probability定義

event A, B同時發生的機率，用多變數積分（好久沒算這個東東了ㄟ）。

Joint CDF定義

仍然是對density做積分，哪個RV在裡或是在外都無所謂，答案是一樣的。

當然對joint cdf微分，能得到joint density:

範例：計算P(X>Y)

我們有joint density funciton:

P(X > Y)按照定義就是先對某個變數做積分，在對另一個變數做積分，但是問題是要怎麼找到積分區間？

P(X > Y)真正該解讀成 P(X = x , Y = y, x >y)，所以積分區間只要 x >= y > 0就可以：

至於要先積分y (在內）在積分x? 還是先積分x再積分y?

X>Y這個事件中，x和y的可能區間如下圖中的直線下方所有的平面：

對每個x來說，從x=y 積分到 INF可以填滿整個平面中的一條水平線，再對y從0到INF積分就可以包含每個x的積分起點，所以這是課堂中老師prefer的方法，不過either way is fine:

另外盡量讓積分區間的上限為INF，這樣有助於消除exponential term：

所以先對x做積分：

再對Y做積分：

範例：計算P(X<Y)

event X<Y的(x,y)區間圖如下：所以採取先積分y方向，可以得到INF的計算方便：

答案不用算，可以知道應該是1 - P(X>Y) = 2/5

因為P(X=Y) = 0，因為在x,y的區間圖上，x = y是一條直線，按照定義：

不過這個不是絕對的，是在這個例子上如此，但這也是joint density常見的現象。