Probability筆記55 - Normal Random Variables(3) 利用Z的CDF table找出X的probability distribution

原理：Z和X能夠彼此線性轉換

我們只需要擁有一個Z的CDF table，就可以找出任意normal X的CDF，為何？
因為我們之前已經提過Z可以用X經過linear transformation來表示：

Z =

所以P(Z)和P(上式)有相同的probability distribution。

P(X <= a ) 經過上式移項可以寫成:

P(X - miuX <= a - miuX)
P((X - miuX / sigmaX) <= (a - miuX / sigmaX))
P( Z <= (a - miuX)/sigmaX )    /* 可以查表了 */


舉例來說：

比較直覺好記的方法就是 X mean 先shift到 0，然後除以standard deviation，這個其實就是Z經過linear transformation變成X的inverse transformation。

使用Z的CDF table

由於Z的CDF table只有紀錄z >= 0的CDF，所以當z < 0的時候，我們有必要釐清到底是要求哪部分的面積？

首先density在XY軸下的面積就是機率，這一點要先弄清楚，由於Z density的圖形是對稱於Y軸，所以的確沒必要也寫入z < 0 的CDF。

(1) P(Z <= a), a >= 0，這種就直接查表可以找到答案：

(2) 如果要求P(Z > a)，這是1-P(Z <= a)，所以查表再做個減法就可以得到：

(3) 如果P(Z <= a)，但是a < 0，CDF值無法直接從table上找到，但是所求因為density對稱的關係，其實等於1 - P(Z <= -a) ( 畫圖就知道所求的面積):

(4) 如果P(Z > a)，但是a < 0，則所求相當於 P(Z <= -a):

在統計學中上面這些邏輯用的很兇ㄌ！！！