Probability筆記17 - 期望值的線性性質

Linearity

線性的一個特徵就是sum(Exp(X)) = Exp( sum(X) )，而期望值的正有此特性，所以期望值是線性的。

證明線性如下：

(1) 按照期望值定義，對某個sample space來說：

上式可以看成令 X = a1X1 + a2X2 + .... anXn
則E(X) = SUM( X(w) * P({w}) ) = SUM( (a1X1(w) + a2X2(w) + ... + anXn(w)) * P({w}) )


(2) 展開SUM( ..... )，並且用SUM的linearity：

(3) 提出各項常數，發現各項符合E(Xn)定義，得證

常用衍生1

epectation的線性，如果在只有2個X時會出現在常見的form:

若其中X2是常數函數，則可以化簡成以下：

常用衍生2

一個indicator RV X的期望值就是P(X)，這個非常簡單的計算就可以證明：

由於對event A來說的indicator X，X(A) = 1, X(~A) = 0

so E(X) = X(A)*P(A) + X(~A)*P(~A)

= X(A)*P(A)

= P(A)