Probability筆記47 - 複習一下integration by parts & L'hospital's rule

計算density為exponential function的期望值時，如果對微積分技巧不熟，根本就卡關卡死死，以下題為例：

假設有一joint density如下：

且0 < x < y 區間之外的density為0，試求Var(X)?

首先找出density of X，這很簡單為 10 * e^(-10x)

再來找出E(X^2) ， 按照定義為

INTEGRAL_0_INF { x^2 * (10*e^(-10x)) }

這邊就傷腦筋了，因為有一個x^2項在前面，所以必須要用integration by parts，也就是看成是function u和function v的乘積的微分：

u = x^2
du = 2x*dx
dv  =e^(-10x)
v = INTEGRAL{ dv } = -1/10 * e^(-10x)

所以我們想要求的 INTEGRAL_0_INF { x^2 * (10*e^(-10x)) } 是u*dv

u*dv = uv - INTEGRAL{ v * du }

這樣就可以化簡了，瘋掉

不過化簡並且代入積分區間後，會發現分子分母都趨近無限大，這時候就又要用L'hospital rules，將分子分母做兩次微分，終於可以判定這個項目在x趨近無限大的極限值為0。

總之，好麻煩