Probability筆記39 - Independent RV examples

Example 

已知X和Y為independent RVs，且個別的density （x和y一樣, x > 0, y > 0）：

令Z = min(X,Y)，求P(Z <= 1) ?

首先P(Z <= 1) = CDF(Z)，怎麼求Z的CDF?

因為X Y independent，所以joint density fxy(X,Y) =

這邊不能直接用XY算P(Z <=a )， 因為Z = min(X,Y)，但是P(Z<=a) = P(min(X,Y) <= a)我們只能得出P(X <= a || Y <= a)，這無法利用joint density來計算。

既然Z = min(X,Y)
=> P(Z > a) = P(min(X,Y) > a) = P(X > a & Y > a)
這邊又要用到X Y independent的事實，我們可以把P(X > a & Y > a) = P(X>a) * P(Y>a)，這是回歸到最基礎的independent event probability定義。

計算結果如下：

有了P(Z>a)的函數，我們就可以求CDF of Z = P(Z<=a) = 1 - P(Z>a) :

所以P(Z<= 1) = Fz(1)!

另一個比較笨的方法是“假裝不知道P(Z<=a) = 1 - P(Z>a)”，結果去把Fz(a)又微分得到z的density，然後再去對z在[-INF,1]區間積分，得到的答案還是一樣的。