Probability筆記41 - conditional probability of continuous RVs

conditional density定義

當然fy(y)要為 > 0 的density。

要寫成這樣也可以：

Conditional probability

算conditional probability的話，就按照定義來吧，不過此時因為某個變數已經是常數了，所以不用對conditional density雙重積分，只要對變數積分：

如果X和Y是independent RVs，則分子的joint density又可以拆成分別density的乘積：

這符合常理，也跟discrete case一樣，不用特別記憶。

範例

假設有一joint density:

要求conditional density fy|x(y|X=3) ?

根據conditional density 定義，我們已經知道分子joint density，現在只要把分母density of X 求出，這需要對joint density做y方向的積分，Y的積分區間為[0,x]，因為我們有一個y<x的條件：

所以fy|x(Y|X=3) = 1/3, for 0<y<x


如果反過來我們要求fx|y(X|Y=y) =?
一樣根據定義，已經知道分子，現在要求density of y，這需要在X方向積分，積分range為[y,INF]，因為(x,y)分佈圖形是長這樣：

所以density of Y:

永遠可以用density必須integrate to 1來檢查我們算的density對不對。
則conditional density of X given y:

既然有了conditional density fy|x(Y|X)，我們求conditional probability of Y given X就直接按照定義來對conditional density積分即可：

其實邏輯都跟discrete RV一樣，只是符號容易讓人搞混，以及integration不如summation直覺。