Probability筆記21 - Variance & Standard deviation

Variance定義

終於進入到比較會用到的東西了，那就是variance。
首先我們先給X的expectation一個新的名子: "mean"，符號用miuX。注意mean不是一個函數，是一個常數值，一個我們已經算出X期望值的實數。

variance定義如下:

所以他是某個h(X)的expectation。

物理意義是一個random variable X相對於其mean的分散程度(spreadness)，因為可以看到h(X) 定義成(X-mean)^2，這是某個outcome被X(w) mapped之後，與mean的差值被平方放大其效應，再取expectation的話就被每個outcome發生的機率去加權，最後得到一個real number。

Variance的特性

1. Variance永遠>=0，這個看定義不證自明。

2. 快速公式:

上式通常是比較好算快速的方法，要不然就得從variance定義去著手。


3. 另一個快速公式，從2.證明來的:

證明如下:
Va(aX+b) = E( (aX+b)^2 ) - (E(aX+b))^2  /* 由2.得知 */
= E( a^2X^2 +b^2 + 2abX) - (aE(X) + b)^2
= a^2E(X^2) + b^2 + 2abE(X) - a^2E(X)^2 - 2abE(X) - b^2
= a^2E(X^2) - a^2E(X)^2
= a^2(E(X^2) - (E(X))^2)  /* 仍然由2. 得知 */
= a^2 * Var(X)

Standard Deviation

定義:

standard deviation的單位和X的單位一樣。(這句話有待釐清意義)。
S.D. 的物理意義和variance 一樣，看其數學定義即知，不過不確定為何要多一個這樣的物理量?

下回分曉。