Probability筆記37 - 從joint density找出個別隨機變數的density

用偏積分找出single variable density

在discrete版本中，我們可以從joint mass找出個別RV的mass，在continuous RV中當然也可以。

如果要求discrete X from joint mass function p(X,Y)，我們是把x看成常數，然後加總所有可能的y與此常數x同時發生的機率，在continuous RV版本中則用integration取代：

舉例，假設我們有一joint density of X Y =

則density of X :

density of Y:

就這麼簡單。

另一個例子

有一joint density如下，求P(X>1)?

這個density的(x,y)分布區間是x=y的直線下方的所有(x,y):

(1) 按照定義去求P(X>1)的話，就是做了雙重積分，定義域為x從1~INF，而y從0~x:

(2) 先求出X density，然後按照P(X>1)的定義用X density去求P(X>1):

可以看到兩個方法的數學步驟一模一樣，只是一個按照joint density求機率的定義，一個按照single variable用density求機率的定義，數學式是一模一樣的。

這一題要解下去的話，需要用到微積分中的substitution methods：

早忘光了啦！