Probability筆記48 - Continuous RV Model 1: Uniform RV

定義

constant density between [a,b]。
density為1/b-a，可以簡單地用P(a<=x<=b) = 1來算出。

Density & CDF

CDF的函數：

以上好像之前都證明過了。

E(X)

直覺果然是對的，就是一般所說的平均數，專指uniform density:

E(X^2)

不想算的話就帶入公式吧：

Var(X)

有了以上兩者，variance呼之欲出：

Probability of X

Uniform的好處就是其實可以單純以event長度對區間的佔比來簡單推算機率（因為對常數做積分的緣故），省去非常多計算。例如某 a < c < b，則P(X <= c) = c-a / b-a。

Conditional Probability

uniform density另一個好處就是condition可以拿來當新的“樣本空間”，當然這是一種比喻的說法，計算上來說是成立的，舉例來說：

一個density在區間[10,45]為uniform，則：

當然你永遠可以按照定義去算probability，當做檢查也不錯：

Linear Combination

如果Y是uniform RV X的linear combination (i.e. 只做scaling和translation，例如Y = cX+d)，則Y仍然是一個uniform RV，而且和X有一樣的constant density。

可以把Y想成是X的不同單位表現方式，例如Ｘ事表示攝氏溫度，則Y可以是華氏溫度。

既然Y仍然是一個uniform RV，如果X的區間為[a,b]，則Y的區間為[ca+d, cb+d]，遵從上面所講的所有uniform RV的一切性質。新的density:

Minimum Problem revisited

假設有X Y其joint density為uniform，在x:[0,5], y:[0,5]的區間內，令Z = min(X,Y), 問E(Z)?


我們之前已經筆記39中講過怎麼從joint density求出min(X,Y)的probability。

現在來看看如果是uniform density會怎樣？

其實這邊提到的邏輯，是筆記39中的alternative，我們在筆記39中是利用CDF(Z)的complement來找出CDF(Z=a)。

我們在當時求CDF(Z=a)時，排除了P(min(X,Y) <= a) = P(X<= a || Y <=a)的聯集方式的選項，而是採取了找complement的方式。

這邊我們嘗試直接找聯集也是可以的，按照expectation定義：

第一項就是當min(X,Y)=Y的時候的積分區間，第二項是當min(X,Y) = X的積分區間，如果畫出定義域來看的話：

另外一種做法仍然是直接找出Z的CDF，不過會利用uniform本身的計算簡單（事實上沒有，因為先找CDF還要再找出density，還要再根據expectation定義去積分，不如直接採取上方步驟！！！）。

其實這邊做法跟筆記39就是一樣了，我們不從complement著手而已，看定義域的圖：

所以我們可以利用聯集找出CDF(Z):

再來微分算出density
再來積分找出expectation。
累！