why Conc Tree?
之前提到，我們採用intermediate data structure來解決"efficient" combining問題。但是另一個可能就是，是否存在本來就是efficient combine operation （concatenate/union)的data structure?
List & Tree
scala list定義如下：（又稱為conc list)
list天生就是sequential，但是tree可以parallel：
我們可以用以下的方法來implement tree parallel filter:
問題是這樣的implementation不能給出一個適合parallelization的balanced tree， 中間的tree不是optimal height因為Leaf case仍會return Empty，如果修改不讓Leaf case return Empty的話，會變成最右邊那樣，像list而非tree，非常不balanced:
Conclist - balanced tree
為了達成balance，我們要另一個data structure Conc，trait 定義如下：
level :就是height
size: 就是這個tree有幾個elements
以下為Conc trait可能的concrete implementation:
conc tree有invariants必須要遵守：
1. <> (inner node) 不能有Empty child
2. <>的左右children的level差 <= 1，為了要達成balanced tree。以下這個tree就違反了invariant 2:
以下這個才符合variant 2:
所以invariant 2 保證conc tree的operations至少能在O(log n)完成。
我們可以定義一個 <> method，用來當作concatenation (注意這根constructor 名字一樣）:
這method裡面先檢查了invariant 1，然後真正做balancing (滿足invariant 2)的是concat method，concat method就檢查invariant 2，如果滿足的話就new 一個inner node <>當成parent node：
否則的話，tree xs和tree ys必須要做combination。
先假設xs的height = d，ys的height = e <= d-2 。
所以要看xs的trees的leaning狀況（哪邊的tree較深）如何來決定要怎麼merge。
1. xs is left-leaning (左邊subtree較深）
注意右邊subtree最多高度d-1 (否則不會通過invariant 2)。則我們就把右邊的subtree與ys concat recursively，最後在形成一個parent node連接兩者：
2. xs is right-leaning，右邊的subtree比較長：
注意下圖把xs的右邊subtree的左右children subtree的可能深度配對都列出來了，分別是：
(d-2, d-2)
(d-3, d-2)
(d-2, d-3)
可能的combination結果如下圖：（沒有完全列出來，看code吧）：
重點是 這個combination有達到我們要的O(log(n) + log(m) )嗎？！
注意此演算法的base case是某個兩者高度差 < 某值，所以recursion深度取決於O(xs_height - ys_height) < O(logn)，可以說Conc tree是符合parallel combiners需求的data structure。
Conc tree to implement combiner!
Conc tree concatenation兩個tree可以有O(h1-h2)，但是我們還需要constant time append operation，才能實現"efficient" parallel combiner，所謂efficient就是 O(logm + logn)，n = combiner1 #elements, m = combiner2 #elements。
combiner trait的append就是 += method，假設我們用conc tree來當作combiner的instance variable xs:
我們知道至少要O(log n) time來做append，但是有沒有辦法constant time?
事實上是有ㄟ！
不過要loose Conc tree invariance 2: 仿造 <> node，定義一個Append node:
但是不限定append node的左右children的高度差！所以以下的subtree 是合法的：
所以append很快，可以是O(1)，因為只要把append node的children pointers指向兩者就好：
所以Append Node事實上也是intermediate data structure，因為不能parallel execution（因為tree unbalanced)，所以勢必也要轉換成balanced tree。
不過這個轉換本身至少需要O(n)，所以以上的implementation不適合達成"efficient" concatenation (至少O(logn))！因為在concatenation過程中，變成linked list，而linked list只能linear time traversal。
所以要達成O(log n) concatenation，另一個方法是 限制append node的數量，使得整體的concatenation effort能被O(log n) bounded。
這邊用到二進位的想法：二進位的數字n，但是所需要的bit數目卻是log(n)，所以數字線性成長但是bit數目log成長。
以下過程省略，課程字幕實在太爛了，老師口音又常常聽不清楚，放棄！
怎麼用conc tree implement Combiner
這個combiner叫做ConcBuffer，定義如下：
他有一個conc tree memeber，也有一個array，以及chunkSize來記錄第一個empty array entry index。這個index就用來append element，直到array滿了以後，就expand一個新的array，並且把此滿了的array 包成Chunk node放入 conc tree。
Chunk node定義如下，功能類似Conc tree中的SingleNode:
以下又省略了，實在聽得很痛苦，直接寫作業吧！
這門課的口音和字幕帶給我很大痛苦！
