Probability筆記53 - Normal Random Variables(1) standard normal RV

Normal RV Density定義

一個normal RV被一個expectation (mean)和一個variance 定義。

其density （對所有實數x) 為：

特例：Standard Normal RV Z

一個特殊形式的normal RV，因為其mean = 0，variance = 1，通常用Z稱此RV。我們會對這個standard normal RV提供所有CDF值的table，其他參數組合的normal RV可以透過轉換成standard normal RV來查表算出其CDF。

standard normal density定義如下：

這就是所謂的鐘形曲線（bell curve）：

E(Z) = 0

根據定義去對Z的density和z的乘積做積分，為了完整性記錄如下：

必須用到u-substitution:

Var(Z) = 1

前項根據L'Hospital's rule為零，後項其實是一個valid density積分，所以為1。

得證。