Probability筆記14 - conditional random variables and independent random variables

任何東西加上conditional都是一個頭疼啊！

從定義著手吧，定義如下：

跟conditional probability的定義類似，但稍稍不一樣。上面x y 符號可以互換，跟conditional probability一樣，只是符號而已。

Independent random variables

what a mess!!!!! 除了conditional之外，又來個independent，暈。

我們之前討論的independence是在兩個events之間，現在是要討論兩個random variables的independence定義。

以下三者都可以說是兩個random variables為independent的定義：

1. 從joint PMF觀之：

2. 從joint CDF觀之：

3. 從joint conditional probability觀之：

以上三者，所有的(x,y)都必須符合檢驗才能說此兩者random variables為independent!

範例

擲出一個4面骰子和6面骰子，讓X為4面骰子的結果的random variable，讓Y為6面骰子的結果的random variable，試問X和Y是否為independent?

用joint PMF來檢驗的話，PMF(x,y) = P(X = x, Y = y)
對P(X = 1, Y = 1)來說，由於骰子是公正的，所以所有可能的outcome pair的機率都是1/24
所以P(x,y) = 1/24 對任意 1<= x <= 4, 1<=y<=6來說。

對任意 1<= x <= 4，P(X = x) = 1/4，因為骰子是公正的
同理 對任意 1<= y <= 6，P(Y = y) = 1/6
所以P(x,y) = 1/24 = P(X=x)*P(Y=y) ，故X和Y為independent。