Probability筆記49 - Continuous RV Model 2: Exponential RV

模型用處

通常用來model “等待某個長度時間”的機率，例如下一次部車子經過的需要再等待15分鐘的機率。

fx(X)

density的圖形長這樣：

CDF

由complement P(X>a)：

去找CDF = P(X<=a)最簡單：

CDF圖形長這樣：

E(X) & SD

這個之前都證過了（要用到u-substitution & L'Hospital's rule)

Var(X)

先算E(X^2):

Memoryless

這個model是唯一continuous RV有memoryless的性質，可以將conditional probability轉化成unconditional probability：

上面的語意為“如果已經等了超過八分鐘，那我們還需要再等14分鐘以上的機率，相當於需要等超過六分鐘以上的機率”。

P(X>a) = 1 - CDF(a)

如果按照conditional probability的定義去算，可以證明以上memoryless性質：

可以generalized成：

Minimum Problem

不知道為什麼，老師一直把minimum單獨拿出來講？

假設有兩個independent exponential RV X和Y，令Z = min(X,Y)，問E(Z)?

思考邏輯是(1)先找CDF(Z) (2) 微分求出density (3) 積分找出expectation of Z


(1) 這邊找CDF又用了先找complement P(Z>a)的方法，可能是因為independent RV可以快速求出probability:

不過特別的是，這是一個exponential RV! 由上式可以看出這是一個lambda = lambda1 + lambda2的exponential RV。

density為：

既然我們有了他的lambda，其實就套用一般exponenetial RV的公式很快就能求解：

E(Z):

不過以上的特殊行只成立在
(1) X Y independent
(2) Z = min(X,Y)

如果Ｚ＝ max(X,Y)，Z並不會是一個exponential RV! 要注意！


這個特性可以擴展到n個independent RVs: