Probability筆記51 - Continuous RV Model 4: Beta RV

Density

其中x是某件事物的佔比（proportion） based on some prior observations，所以 0 < x < 1，其他alpha / beta 皆為某個prior observation組態下的常數。

gamma function定義如下：

CDF

E(X) & Var(X)

範例

假設一beta RV的alpha = 3, beta =  8，求CDF?

先求 density，這個直接帶公式：

有了density，根據定義直接求CDF:

這邊積分又得動用u-substitution技巧，主要是讓1-x變成一個單一變數，這樣就避免展開積分的計算困擾，令：

這樣就可以把x全部換成u，不過記得積分區間也要改變：

又如何求E(X)?
其實如果按照定義積分，仍然要用到u-substitution:

不過我們早就算出beta RV的expectation = alpha/(alpha + beta)，別找麻煩啦！