Probability筆記27 - Discrete RV模型(5): Negative Binomial RV

不是負的binomial rv

事實上他是多個geometric RV的組合，模型定義如下：

Negative Binomial(r, p)，其中r是trial成功的次數，p就是每次trial成功的機率。一個negative binomial X = x的意思是前x-1次不成功，直到第x次終於成功。

例如我們連續投擲一個銅板，直到出現四次人頭的事件，事實上可以拆成四個geometric RV來看：

Negative Binomial RV的語意為  trial直到r次成功所需要的次數。


所以Negative Binomial RV X = X1 + X2+ X3 + ... Xr，其中Xi是一個INDEPENDENT geometric RVs。

以上面擲出4個人頭所需要的次數為例：

P(X = 18) = P(第18次是成功 & 前17次剛好有3次成功）

= choose(17,3) * q^14 * p^3 * p

general equation

一個negative binomial(r,p) X， P(X = x) 就是要第x次trial成功，但是前x-1次中，只能有r-1次的成功，因為第r次的成功要就是發生在第x次trial。圖示如下：


F F F F S   F F S  F F F F F F S ....................            S
-----------前x-1次trial中有r-1次成功 ------------   第x次trial就是第r次成功


P(X = x) = choose(x-1, r-1) * q^(x-1- (r-1)) * p^(r-1) * p

化簡得到：

Geometric RV是Negative Binomial r參數為1的特例

用mass function驗證：把r用1帶入，會得到P(X = x) = p * q^(x-1)，的確就是geometric RV的mass function。

範例1

令X為抽到黑桃2 五次後就停止抽牌所需要的抽牌數目，問P(X = x)?

這很明確就是negative binomial(5, 1/52)
所以P(X = x) = choose(x-1, 4)* (1/52)^5 * (51/52)^(x-4)

代公式而已。

E(X)

E(X) = E(X1) + E(X2) + .... + E(Xr)  /* r個independent geometric(p) RVs */
= 1/p + ...... + 1/p
= r/p

Var(X)

Var(X) = Var(X1 + .... + Xr)
=  Var(X1) + Var(X2) + .... + Var(Xr)  /* 因為independent RVs */
= q/p^2 + ..... + q/p^2
= r*q/p^2

Sums of Independent Negative Binomials is Also Negative Binomials

這個結論不意外，其實就是碎形的感覺：

(1) 一個geometric RV是一個negative binomail(1,p)
(2) r個independent geometric RVs可以組成一個Negative Binomials(r,p)
(3) n個independent Negative Binomials(ri,p) 組成一個Negative Binomials(r1+r2+ ..+rn,p)


敘述(1) (2) (3) 其實都是同一件事：一個Negative Binomial(r,p) 可以拆成r個 Independent Negative Binomials，且這些"較小"的negative binomials的r總和為較大者的r。