Probability筆記18 - 用indicators來快速計算期望值

計算期望值可以更快

期望值按照定義必須要把每個event outcome的機率算出來，但是這很慢，有更快的方法，就是利用其線性性質，我們可以完全不用算出X的PMF！

範例一

以之前四個新生兒性別為例，令X為新生兒性別是女性的數目，問E(X)?

我們在筆記17知道E(X) = P(X=A)，如果X是A的indicator，所以利用這個等式，我們令四個小孩的性別是女性的random variable分別為X1, X2, X3, X4

所以X1(女) = 1，X1(~女) = 0，P(X1 = 女) = 1/2
且X = X1 + X2 + X3 + X4

then E(X) = E(X1 + X2 + X3 + X4) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) = 1/2 * 4 = 2

所以四個小孩都是女生數目的期望值為2，的確符合我們對平均的想像，一半（2個)是男的，一半是女的。

範例二

回到上一篇筆記中用到微積分去求期望值的題目：擲一個骰子，直到出現3時停止，令X為需要擲出的數目，試問E(X)?


仍然拆解X為幾個partitioning indicators的和：
X1為至少需要擲出1把，才出現3的event A1的indicator
X2為至少需要擲出2把，才出現3的event A2的indicator
.
.
以上的Xi定義可以幫我們擺脫之前需要微積分的窘境，因為計算時數列會變成無窮等比級數，但是我們必需要證明X = X1 + X2 + X3 + ...... 是成立的!!!

如果X = 5的outcome w發生了(需要五把才能擲出3)，則
X1(w) = 1，因為"至少"需要1把的事件發生了
X2(w) = 1，因為"至少"需要2把的事件發生了
X3(w) = 1，因為"至少"需要3把的事件發生了

X4(w) = 1，因為"至少"需要4把的事件發生了

X5(w) = 1，因為"至少"需要5把的事件發生了
X6(w) = 0，因為"至少"需要6把的事件不成立

所以X = 5 = 1 + 1 +1 +1 +1 + 0 + ...
這個應該可以用數學歸納法證明之。

我們先算出:

P(X1=1) = P(A1) = 1 (廢話，至少要擲出一把才會出現某個數字吧？當然發生機率為1)
P(X2=1) = P(A2) = 第一把不能出現3的機率 = 5/6
P(X3=1) = P(A3) = 前兩把不能出現3的機率 = (5/6)^2
.
.
P(Xn = 1) = P(An) = (5/6)^(n-1)

so,
E(X) = E(X1) + E(X2) + ..... = P(A1) + P(A2) + ....
= 1 + 5/6 + (5/6)^2 + ...  /* 這是一個無窮等比級數 */
= 1* (1/(1-(5/6)) = 6

所以至少須要擲出的次數的期望值為6。不用微積分了！不用當記者了！