Probability筆記54 - Normal Random Variables(2) normal RV線性轉換成Z

Z can be linear Transformed to normal X

任意一個norma(miuX, (sigmaX)^2)  X都是standard normal RV Z的linear transformation（e.g. scaling or shifting)。

我們宣稱 X =

證明如下：

邏輯是看兩者的probability distribution （對某一個event的機率是否相同）是否相同？所以可以從CDF著手：

首先右式的CDF根據定義寫出，並且稍微移項使得右式CDF變成Z的CDF定義：

注意積分區間，從-INF積分到 <= 的值。

再來進行u substitution:

帶入替換：

最後發現根本等於P(X <= a)，所以兩者的CDF相同，的確是同一個probability distribution。

所以一個normal RV X，可以轉換成對Z的linear transformation，仍然保有相同的probability distribution，當然也有一樣的mean和variance（可以簡單的證明）：

使用
另一個說法：standard normal Z 可以用任意normal X來表示:


Ｚ＝

這在我們使用查表法查Z的CDF時必須要做的。