Probability筆記12 - joint PMF of 2 RVs

Joint PMF

定義就是同時讓rv function X 和 rv function Y產出(x,y)的事件的機率函數：

Joint CDF

定義就是同時讓rv X 和 rv Y產出X<=x和Y<=y的事件的機率函數：

範例

又是一個不太懂題意的題目。有四個小孩出生於四個不同的母親，讓rv X 為男孩的數目，rv Y為女孩的數目。則X+Y = 4。（搞不懂要問什麼？根據答案來看的話，應該是要問四個母親生出男生女生的機率）。

試算joint mass PMF(x,y) = P(X=x, Y = y)

|S| = 2^4 = 16，因為每個母親可能生出男或女兩種可能，所以四個母親就有16種可能。

P(X = 0, Y = 4) = 1 / 16，因為生出四個女的只有一種可能。
P(X = 1, Y = 3) = 4/ 16，因為(男，女，女，女）有四種可能
P(X = 2, Y = 2) = choose(4,2) / 16 = 6/16
P(X = 3, Y = 1) = 4 / 16
P(X = 4, Y = 0) = 1 / 16

joint mass所有的outcomes的機率要相加為1，驗證看看：
(1+4+6+4+1)/16 = 1 沒錯！


CDF可以隨便選一個來算算看，假設是CDF(2,3)
CDF(2,3)的意義是所有的outcomes的機率使得X<=2 &&Y <= 3
所以只有(1,3) (2,2)兩種可能
所以CDF(2,3) = PMF(1,3) + PMF(2,2) = 4/16 + 6/16 = 10/16