Probability筆記11 - PMF和CDF範例

無限次trial直到成功

成功機率為p, 不成功機率為1-p=q
令X為一個random variable表示成功時所需要的trial數目。

PMF(x) = P(X=x)，其中x = 1, 2, 3, ... （所有的正整數）
PMF(1) = P(X=1) = p
PMF(2) = P(X=1) = q*p
PMF(2) = P(X=1) = q^2 * q
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PMF(j) = P(X=j) = q^(j-1) * p

我們把PMF畫出來：

CDF(x) = P(X<=x) = P(X=1) + P(X=2) + .... + P(X=x)
= p + q*p + .... + q^(j-1) * p

化簡之後可以得到1-q^x

所以我們可以畫出CDF:

分巧克力餅乾

12個餅乾中，有5個是巧克力餅乾，7個是其他口味。現在有3個小孩要來隨機抽取餅乾，一個人只能拿一個餅乾，一人選到後就吃掉換下一個人抽。令X為random variable定義為3個小孩分得巧克力餅乾的數目？

X的可能值為0,1,2,3
X=0的outcomes為3個小孩都沒拿到餅乾，只能選7種其他口味的餅乾。
P(X=0) = (7/12) * (6/11) * (5/10) = 7/44

P(X=1) = (5/12) * (7/11) * (6/10) + (7/12) * (5/11) * (6/10) + (7/12) * (6/11) * (5/10) = 21/44

P(X=2) = 1 - 7/44 - 21/44 - 2/44 = 7/22

P(X=3) = (5/12) * (4/11) * (3/10) = 1/22

所以我們就已經可以畫出mass function / CDF 的圖了 （省略）。

擲兩粒骰子

let rv X denote the maximum, Y denote the minimum。
我發現題意不容易理解，即便要翻成中文也難。
這題意是說 X把擲出的點數(i,j) map到 max(i,j)
所以X(i,j) = max(i,j)
Y(i,j) = min(i,j)

X和Y可能的值都從1 ~ 6

計算mass of X:
pX(x) = P(X = x)
P(X = 1): 造成兩個骰子最大值為1的可能只有(1,1)，所以機率為1/36
P(X = 2): 造成max(i,j) = 2的可能event只有{(2,2) (2,1) (1,2)}, 機率為3/36
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以此類推即可找出PMF。