Probability筆記10 - PMF和CDF

probability mass function (PMF, mass)

PMF也是一個function，把所有的實數線上的x當作sample space，把此sample space map到某個random variable function X=x時的機率，其符號為小寫的px:

pX(x) = P(X = x)


CDF (cumulative density function)
PMF定義的值是P(X=x)，而CDF定義的值是P(X <= x)，x為所有的實數線上的點。

符號為大寫的Fx:

FX(x) = P(X <= x)

範例

定義rv X = 誕生於四個不同生日的人數。這題意我看了好一會才知道他要問什麼，其實他是要問有四個日子，X是誕生於這四個日子之中但是日子不重複的人數

所以X=x可能的outcome為:

X = 0，沒有人誕生於不同的四個日子
X = 1，只有一個人誕生於四個日子中其中一個
X = 2，只有2個人誕生於四個日子中其中相異兩個
X = 3，只有3個人誕生於四個日子中其中相異3個
X = 4，只有4個人誕生於四個日子中其中相異4個

所以使得X = 0的event outcomes 數目為choose(4,0)=1
所以使得X = 1的event outcomes 數目為choose(4,1)=4
所以使得X = 2的event outcomes 數目為choose(4,2)=6
所以使得X = 3的event outcomes 數目為choose(4,3)=4
所以使得X = 4的event outcomes 數目為choose(4,3)=1

|S|為2^4 = 16，mass 必須能 partition S，所以:
P(X=0) = 1/16
P(X=1) = 4/16
P(X=2) = 6/16
P(X=3) = 4/16
P(X=4) = 1/16

五者機率相加必須為1

PMF(x)  = P(X=x)，將此function畫成圖如下：（其他X不等於0,1,2,3,4者，P(X=x) = 0)

CDF(x) = P(X <= x)，所以畫成圖如下：

CDF為累積的機率，所以會形成以上這種階梯式的圖形(這正是DISCRETE RV的特徵）
P(X < 0) = 0
P(X = 0) = 1/16
所以FX(0) = P(X<=0) = 1/16

P(X<1) = 1/16，因為X<1只有一個event: x = 0有非零機率1/16 (稱為step, 就是那一個x的mass)
P(X=1) = 4/16
所以FX(1) = P(X<=1) = 1/16 + 4/16 = 5/16

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最後FX(last x outcome) = 1