Probability筆記20 - 對X組成的函數式(the function fo Random Varaible X)，計算期望值

只是另一個RV

X本身已經是一個function，如果其組成另一個function，我們當然也可以算出這個新的function（其實就是另一個random variable Y)，在某個event sample space上的期望值。


其實我們之前就一直在用了啊！
X拆成幾個partitioning indicators就是把X1,X2, ... 組合成一個新的function X = X1 + X2 + ....。

所以E(X) = E(X1 + X2 + X3 + ... )

寫成general form, 假設某個function h(X) mapping from X=xi to real numbers (注意是mapped to real numbers，所以也符合random variable的定義），則其期望值按照定義為：

E(h(X)) = SUM_w(  h(X(w)) * P({w}) )

可以看到要做兩次mapping (1) w -> X(w) (2) X(w) -> h(X(w))

範例

又是醫院生4小孩分性別的範例，老師對這個問題很關心？！

假設X為女性的數目，問E(X^2)?


注意我們並不是要求E(X)，所以之前用的indicators沒什麼作用，按照以上定義來做：

X只能是0,1,2,3,4

E(X^2) = SUM( (X(x))^2 * P(x) )
= X(x=0)^2*P(X=0) + X(x=1)^2 * P(X=1) + X(2)^2 * P(X=2) + X(3)^2 * P(X=3) + X(4)^2 * P(X=4)

= 0 + 1*P(X=1) + 4*P(X=2) + 9*P(X=3) + 16*P(X=4)
= 0 + 1* (4/16) + 4*( choose(4,2)/16) + 9*(4/16) + 16*(1/16)
=      (4 + 24 + 36 + 16 )/16
= 80 / 16 = 5