Probability筆記24 - Discrete RV模型(2): Binomial RV

特性

Binomial這個名字是來自binomial coefficients，就是choose(n,k)。

一個rv X說是一個Binomial(n, p) rv，如果其PMF符合以下的性質：

X的物理意義就是在n個INDEPENDENT trials中獲得成功的次數，其中successful probability = p。

證明

X可以用n個INDEPENDENT indicators X1,X2, .. Xn表示每個trial是否成功或失敗：

X = X1+X2+ ... + Xn

假設我們需要k個成功trials (機率p)，則必然有n-k個失敗 (機率q = 1-p)，所以此事件的機率為(p^k)*(q^(n-k))，因為每個RV是independent的。

又這k個成功可能有choose(n,k)種組合，所以P(X = k) = choose(n,k) * p^k * q^(n-k)。


所以看起來，Binomial model只是一群Bernoulli RVs的整體表現特性，理解Bernoulli應該就能理解Binomial。

E(X)

這個很簡單，因為Binomial RV 其實就是n個Bernoulli RVs，所以E(X) = E(X1) + .. E(Xn)，這邊又用到了Bernoulli簡化計算的特性(i.e., E(Y) = P(Y=1)):

Var(X)

在筆記22中已經記載，如果RVs 是independent的話，Var(X1+X2+ .. ) = Var(X1) + Var(X2) + .... ，又我們知道Variance(X1) =  pq：

Independent Binomial RVs組成的function也是一個Binomial RVs

重點是一定要Independent!!!!!

這相當於一個大實驗包括了n個多次trial的小實驗（每個實驗的outcome機率都一樣，只在於trials數目不一樣），每個小實驗都可以用binomial model來描述，就像每個小實驗又可以用independent indicators來加總一樣，這個些小實驗也必須是independent的，否則整個大實驗不能用binomial model來描述。

則此大實驗RV Y = Binomial(n1+n2+..., p) = Y1(n1,p) + Y2(n2,p) + ....