Probability筆記50 - Continuous RV Model 3: Gamma RV

模型定義

先複習一下discrete negative binomial RV:
如果X1, X2, ... Xr都是independent geometric(p) RV (也就是trial k-1失敗，第k次成功的model），則X = X1+X2+X3 ... + Xr是一個negative binomial(r,p) RV，語意為“trial直到r次才成功的次數”。

Gamma RV可類比於Negative Binomial RV，不過是continuous版本：

Gamma(r, lambda) X = X1(lambda) + X2(lambda) + ... + Xr(lambda)

所以gamma RV是一堆同樣參數的exponential RV的和。

同理一堆independent gamma RVs, 其SUM(gamma(r1, lambda) RV1 , gamma(r2, lambda) RV2 , ... )也是一個同樣distribution parameter lambda的gamma(r1+r2+ ... ,lambda) RV，因為可以把所有的gamma RV都拆成r1+r2+... 個exponential RVs，根據定義這是一個gamma RV。

Application

如果說5個independent exponential Xi代表“下一個email還要x分鐘後到來”，則gamma X = X1 + X2 + .. + X6代表“6封email到來所總共需要的時間”，由於Xi都有同樣的density，代表這用來model 重複週期性發生的事件到來的時間，生命中的確是有不少這類的應用。

Density

r >= 2 的時候的圖形：

所以是有maximum！


r = 1 就是一個exponential RV的density，應該這樣說：exponential RV就是一個r=1的時候的gamma RV的特例！

CDF

比較複雜：

同樣的r = 1就是一個exponential RV的CDF。

E(X)

Var(X)

由於Xi是independent（很重要，只有在independence的前提下才有以下的性質）：

範例：求Prob(X)

假設一gamma density為：

要求P(X> 1/2)，根據定義直接對density在定義域做積分，計算上的困難點在於integration by parts(u substitution)的技巧使用：

範例：從joint Gamma density找出個別Gamma density的方法

已知一個gamma RV的joint density :

要分別找出X和Y的density，由於是independent（因為x和y的定義域是一個infinite rectangle），可以拆成function of x和function of y，這是係數未知的兩個density，找出係數的方式就是對density去在所有定義域積分，因為P(all xs) = P(all ys) = 1，這樣就可以找出兩個gamma density的確切函數：

另外一個方法是比對gamma density該有的函數結構：






所以fx(x)既然是一個gamma density，那就得符合上面的結構：

同理，fy(y):