Probability筆記16 - 期望值

定義

Expected value是一個function運作在random variables上，定義如下：

所以簡單來說就是一個event (包含 rv X的所有可能outcomes)權重之後的結果，所以說是“期望”沒錯。取sum的原因就是符合公理三，所有disjoint outcomes的probabilities相加為其聯集的機率，當然所有權重相加必須為1，因為這些partition了event sample space。

蠻直覺的。

一個必須用到微積分理論的例子

這倒是蠻煩的，變成微積分要懂會算，才能解這題（for now，之後有其他方式簡單解）：

擲一個骰子，一直擲直到找到3停止，令rv X為所需要的擲數，問X的期望值？

這題我們之前的課程已經做爛了，不過有個地方難解：

因為summation中多了一項X(w)，變成不能使用等比級數和的公式，要把X(w)項目取出在summation之外才能先用無窮等比級數公式消掉summation符號，再對其微分，這時就要quotient rule!

總之數學環環相扣，小時不用功，長大當記者！

老師很好心的給了一個review video: