Probability筆記45 - Continuous RV Expecation的線性性質

單隨機變數

跟discrete 版本一樣：

多隨機變數

兩個以上的變數的random variable G(X,Y)的期望值，我們需要對joint density與G的乘積做雙重積分：

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

這個也是跟discrete版本一樣的性質，寫出證明如下，因為這過程中會用到一些觀念，值得寫出來：

1. 首先X+Y可以看成g(X,Y) = x+y
所以E(X+Y) = 對 (x+y) * fx,y(x,y) 做雙重積分：

2. 這個雙重積分可以拆成x part和 y part， x part如下：

後面對joint density的y偏積分其實就是density of X，所以上式變成E(X)的定義。
同理y part變成E(Y)的定義，所以E(X+Y) = E(X) + E(Y)。

E(X+Y+Z+...) = E(X) + E(Y) + E(Z) + .....

這個性質也跟discrete版本一樣。

Independent X Y, then E(XY) = E(X)*E(Y)

注意一定要independent
這個證明也值得寫出來，因為會用到一個性質：independent X Y的joint density可以拆成fx(x)*fy(y):