Probability筆記62 - 關於Variance of Sum / Covariance的Bernoulli RV範例

Example1: 10人拿帽子之Var(X+Y)

10個帽子分屬於10個人，令Bernoulli X = alice拿對的值，Bernoulli Y = bob拿對的值，求Var(X+Y)?

先注意到X和Y一定是dependent，所以首先可以寫出Var(X+Y)的公式：

由於Ｘ和Ｙ是Bernoulli，variance = pq，這好算，對任一人來說，拿對機率p = 1/10，拿錯機率q = 9/10。

Cov(X,Y)就比較難算了，按照covariance的快速算法：

E(X)和E(Y)好算，因為Bernoulli的expectation = p = 1/10
但是E(XY)就要按照定義算了，因為不是independent RV，無法拆出來。

按照定義
E(XY) = SUM_all_xys_( P(XY = x*y) * (x*y) )

但是x*y不為0的時候只有x = 1且 y = 1，所以上式 :
E(XY) = P(X=1, Y=1) * (1*1)  = P(X =1 AND Y=1)
=  P(X=1|Y=1) * P(Y=1)   /* 採用conditional probability定義 */

= (1/9) * (1/10)

所以Cov(X,Y) =

而整體Var(X+Y) =

Example2: 10人拿帽子之Var(X1 + ... + X10)

這個很簡單，BJ4: