Probability筆記2 - 機率三公理

1. 某個event發生的機率是介於0~1之間的數值。

0 ≤ P(A) ≤ 1.

2. 樣本空間機率值為1，因為S為包含任一outcome的superset，而每次實驗一定是某一個outcome或是event發生，所以包含這個outcome的sample space發生的機率為1(必然發生)。

P(S) = 1.

3. 第三個就是公理定義了INFINITE DISJOINT event之聯集如何map到機率數值:

這三公理就是整個機率論發展的基石定義，其實我們也都在日常生活中不自覺有用到了，除了第二公理我乍聽之下感覺難以理解。

公理三可以發展出finite的版本。


根據三公理，我們可以建立空集合{0}的機率為0，為什麼?
因為S和{0}以及{0}和{0}為DISJOINT，所以根據公理三：
P(S U{0} U {0} U {0} .... ) = P(S) + P(0) + P(0) + P(0) + .....
又S U{0} U {0} U {0} .... = S，所以P(S U{0} U {0} U {0} ....) = P(S) = P(S) + P(0) + P(0) + P(0) + .....

根據公理二 P(S) = 1，且根據上式 P(S) =  P(S) + P(0) + P(0) + P(0) + ..... = 1
故P(0) = 0 得證。

MIT課程補充

公理三又稱為：

注意sequence這個字！這意指countable / discrete (不一定要是infinite or finite)。
如果不考慮sequence，那會得出以下的paradox證明：