Probability筆記66 - Conditional Expectation

複習一下E(X|Y=y)

怎麼求？

如果X是discrete，則把所有在Y=y前提下發生的outcome的x與其發生的條件機率P(X=x|Y=y)的乘積和：

如果X是continuous:

當然所有的conditional probability要sum or integrate to 1。

Discrete 範例：擲兩顆骰子

令Y為minimum，X為maximum，求E(X|Y=3)?

題意就是：兩顆骰子擲出(x,3)的outcomes中，x要>=3的機率？

我們把y=3的事件看成新的sample space，則個別(x,3)的機率為：

所以很簡單的按照定義：

Continuous 範例：Exponential

如果X,Y有joint density:

求fx|y(X|Y) = ?

按照joint density定義，我們可以求出conditional density:

再來按照expected value定義，對所有的x積分，注意積分區間為[0,y]，積分不困難，因為y為常數：

如果反過來求E(Y|X=x)?

按照定義，我們先求分母X的density:

分子和分母都有了，所以conditional density:

既然有了conditional density，再來就是按照E(Y|X)的定義去積分：