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2017年1月4日 星期三

Probability筆記66 - Conditional Expectation

複習一下E(X|Y=y)

怎麼求?

如果X是discrete,則把所有在Y=y前提下發生的outcome的x與其發生的條件機率P(X=x|Y=y)的乘積和:



如果X是continuous:


當然所有的conditional probability要sum or integrate to 1。

Discrete 範例:擲兩顆骰子

令Y為minimum,X為maximum,求E(X|Y=3)?

題意就是:兩顆骰子擲出(x,3)的outcomes中,x要>=3的機率?

我們把y=3的事件看成新的sample space,則個別(x,3)的機率為:


所以很簡單的按照定義:





Continuous 範例:Exponential

如果X,Y有joint density:

求fx|y(X|Y) = ?

按照joint density定義,我們可以求出conditional density:




再來按照expected value定義,對所有的x積分,注意積分區間為[0,y],積分不困難,因為y為常數:




如果反過來求E(Y|X=x)?

按照定義,我們先求分母X的density:




分子和分母都有了,所以conditional density:



既然有了conditional density,再來就是按照E(Y|X)的定義去積分:






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