Linear Algebra筆記5 - A的"因式分解“，A=LU

A * B的inverse 為 INV(B)*INV(A)

假設A is invertible，且B也是invertible，則A * B的inverse 為 INV(B)*INV(A)

這個證明用到Identity來驗證：

(A*B)*(INV(B)*INV(A))
= A * (B*INV(B))*INV(A)
= A * I * INV(A)
= A * INV(A)
= I

得證。

同理：

TRA(A)的inverse = INV(A)的transpose

如果A is invertible，則A的transpose的inverse為A的inverse的transpose!

寫成operator:

INV(T(A)) = T( INV(A) )

2x2 A = LU範例

我們之前知道根據高斯消去法可以得到EA=U，其中E為為了消去不同(i,j)的elimination matrix的乘積，而U則為一個upper triangular matrix。

如果現在反過來要用U來表示A? 有辦法嗎？

舉例來說，已知EA = U:

如何用LU表示A?

很簡單可以證明：
INV(E) * E * A=INV(E) * U
A = INV(E) * U

所以L = INV(E)：

注意U的對角線為消去法過程中的每一個pivot，而且是一個upper triangular matrix
而L的對角線都是1，且為一個lower triangular matrix

3x3 A = LU範例

按照高斯消去法，每個消去的位置（pivot下方）的步驟，形成的elimination matrix如下：

所以我們面臨了怎麼找出L的問題：

可以等式左右邊慢慢乘以elimination matrix的inverse形成identity消去：

INV(E32)*E32*E31*E21*A = INV(E32)*U

INV(E31)*E31*E21*A= INV(E31)*INV(E32)*U

INV(E21)*E21*A = INV(E21)*INV(E31)*INV(E32)*U

所以L = INV(E21)*INV(E31)*INV(E32)

nxn 高斯消去法需要的operations數目

這堂課的youtube 錄影錄音實在太爛，無法理解。

之後看一下課本再來補齊吧。