Linear Algebra筆記12 - 解Ax=0的演算法 範例

再來練習一次演算法

假設有以下matrix A，求nullspace of A。

首先我們預期column1 column2會是pivot variables，因為independent，而column3因為是column1 + column2，所以會是一個free variable

(1) 先做row reduction for pivot (1,1)，結果如下：

(2) 再來做row reduction for pivot (2,2)，不過這是一個零啊！
可以跟row3 exchange:

然後做pivot(2,2) row reduction，完成了echelon form:

所以rank = 2，因為有兩個pivot columns。n-r = 3-2 = 1 free column。


(3) 對一個可能的x = (x1 x2 x3)，由于column3是free variable，所以我們可以任意assign值給x3，方便我們帶入解x1 x2，假設我們令x3 = 1:

則把x3帶入U所代表的system，我們得到一組特殊解：

事實上任意倍數cx都是解，所以在這條R^3空間中的通過原點的直線cx是一個subspace。那是不是Ax=0的整個nullspace呢？

答案是。因為不論x3取什麼值，x永遠會是c * (-1 -1 1)的線上。



(4) reduced row echelon form R

藉由把row2 * - 1加到row 1，我們把pivot(2,2)的上方數字清成0，並且移掉row2的2倍數，得到了R:

R的組成就是Identity matrix I和 Free matrix F的組成在上方，下方都是0。


(5) 得到nullspace matrix N

之前的nullspace cx可以發現就是c * (-F I)，所以以後只要得到RREF，就能組成nullspace of A。

結論

如果不做(3)，直接做到(4) (5)，也都可以找到nullspace，所以RREF提供一個較為系統性（不用任意給free variable值來back substitution)的演算方法來找出N(A)。