Linear Algebra筆記8 - subspace union/intersection, Column space

Subspaces的union不一定是一個subspace

很容易找到反例。例如一條線通過原點是一個R^3的subspace，一個包含原點的平面是一個R^3的subspace，但是只要這條線不在這個平面上，很明顯兩者的聯集不會是一個vector space。

Subspaces的交集一定是一個subspace

這也很明顯，當然比較強固的話還是要證明一下，不過直覺可以想像其正確性。

一個重要的subspace: Column space of a Matrix

之前一篇已經提過了，這邊再提一下，舉例來說，某個matrix A是4x3 大小如下：

則這三個columns的所有linear combination會形成一個vector space，而其為R^4的subspace（因為C(A)是R^4的subset）。

注意這邊只有3個4D vectors，所以其所有的linear combinations也不可能充滿四維空間，而是降一個維度的大小的vector space，在幾何上也就是R^4中的一個3D空間。

為什麼？

Ax=b是否永遠有解，對任意的b來說？

回答上面“為什麼”的問題：對三個columns的A來說，其所有linear combinations要能寫出任意4D vector，則可以把上面的問題轉換成Ax=b是否有解，對任意4D b來說：

要填滿n-D空間，一定要至少n個nx1的vectors做所有的linear combination才行啊

b可以是任意A的所有columns的利用(x1 x2 x3)當係數的linear combination。換句話說只有當b在C(A)中，上面等式才有解。

這就是為什麼column space重要的原因，因為對一組linear system來說，如果知道b是在C(A)中，那保證有解，反之無解。

陷阱！

注意上題中A事實上第三個column = 前兩個column的和！！
所以對“generate”一個3維空間的subspace根本沒幫助，C(A)頂多只是R^4中的一個2維平面的subspace。

所以C(A)事實上只需要兩個columns就能找出所有的linear combinations，任選兩者稱為pivot columns。

結論：C(A)是一個R^4的subspace，但是只是四維空間中的一個二維平面。