Vector Space
我們能對一個vector做的基本計算就是linear combination,例如3v+u。這邊所說的“space”,意指某個set of vectors,其中任意vector經過linear combination之後仍然落入“closed by multiplication/combination”這個set或說這個space。
例如R^2,也就是兩個實數element的2D vector,不管怎麼做linear combination,總是還是屬於R^2這個set,所以我們說R^2是一個“vector space”。
R^2組成2D平面中所有可能的向量:
注意座標軸為vector components。
另外注意0向量 (0,0)也在R^2中。
事實上所有的vector space一定要有零向量!!!!
因為沒有零向量的話0*v就不會落入v原本所在的vector space,違反了vector space定義,且v+(-v)也不會落入原本的vector space。
有R^2,當然就有R^3, .... R^n。
Vector subspace
一個vector space中的某一個subset,如果其中所有的vectors經過linear combination都落入原本的subset,則就是一個合法的vector space,稱為“subspace”。最簡單的一個例子就是R^2中的一條線:
何以見得?
因為這條線上的任何vector u不論怎麼scaling,都在這條線上,另外無論任何兩vector相加,也是在這條線上,明顯可見這是一個合法的vector space。但最重要的檢查是0向量也包含在內。
由此可見有無限多個R^2的subspaces:
(1) 只要任意線段通過原點即可,通常稱此subspace L (for line)。
(2) 當然R^2是自己的subset,所以也是自己的subspace。
(3) {0向量} 也不令人驚訝的是一個R^2的subset/subspace,通常稱此subspace Z (for zero)。
以上三者恰巧是三種dimensions: 0-D點 , 1-D線, 2-D面。
對R^3來說,其subspaces包括:0-D點,1-D線, 2-D面, 3-D空間。
from Matrix to Subspace
假設某R^3 matrix A如下:這兩個columns要在某個R^3的subspace中,怎麼找出這個subspace?
定義上來說[1 2 4] , [3 3 1]這兩個column vector組成的所有linear combination形成的集合就是我們要求的subspace。
這有個特殊名詞叫做“Column Space”,通常寫成C(A)。
可以看到在R^3的幾何圖形上,此兩個columns的所有linear combination可以形成一個空間中的平面,當然也就包含了零向量:
此平面就是column space C(A)。
很詳細 感謝你
回覆刪除好詳細 謝謝您
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