Linear Algebra筆記7 - Vector Space

Vector Space

我們能對一個vector做的基本計算就是linear combination，例如3v+u。

這邊所說的“space”，意指某個set of vectors，其中任意vector經過linear combination之後仍然落入“closed by multiplication/combination”這個set或說這個space。

例如R^2，也就是兩個實數element的2D vector，不管怎麼做linear combination，總是還是屬於R^2這個set，所以我們說R^2是一個“vector space”。

R^2組成2D平面中所有可能的向量：

注意座標軸為vector components。
另外注意0向量 (0,0)也在R^2中。

事實上所有的vector space一定要有零向量！！！！
因為沒有零向量的話0*v就不會落入v原本所在的vector space，違反了vector space定義，且v+(-v)也不會落入原本的vector space。

有R^2，當然就有R^3, .... R^n。

Vector subspace

一個vector space中的某一個subset，如果其中所有的vectors經過linear combination都落入原本的subset，則就是一個合法的vector space，稱為“subspace”。

最簡單的一個例子就是R^2中的一條線：

何以見得？
因為這條線上的任何vector u不論怎麼scaling，都在這條線上，另外無論任何兩vector相加，也是在這條線上，明顯可見這是一個合法的vector space。但最重要的檢查是0向量也包含在內。

由此可見有無限多個R^2的subspaces：
(1) 只要任意線段通過原點即可，通常稱此subspace L (for line)。
(2) 當然R^2是自己的subset，所以也是自己的subspace。
(3) {0向量} 也不令人驚訝的是一個R^2的subset/subspace，通常稱此subspace Z (for zero)。

以上三者恰巧是三種dimensions: 0-D點 , 1-D線, 2-D面。

對R^3來說，其subspaces包括：0-D點，1-D線, 2-D面, 3-D空間。

from Matrix to Subspace

假設某R^3 matrix A如下：

這兩個columns要在某個R^3的subspace中，怎麼找出這個subspace?
定義上來說[1 2 4] , [3 3 1]這兩個column vector組成的所有linear combination形成的集合就是我們要求的subspace。

這有個特殊名詞叫做“Column Space”，通常寫成C(A)。

可以看到在R^3的幾何圖形上，此兩個columns的所有linear combination可以形成一個空間中的平面，當然也就包含了零向量：

此平面就是column space C(A)。