Linear Algebra筆記6- Permutation & Transpose

Permutation Matrix

permutation matrix的定義就是只對“在右被乘者”做row reorder，不做summation / scaling，所以換句話其組成就是Identity Matrix的row reordering。

一個矩陣如果要重新排列其內部的row，這個轉換相當於乘上一個permutation matrix，例如以下P12為交換3x3 Identity 的 row1和row2的permutation matrix:

P12的row1要能做到I的row combination是I的row 2，也就是[0 1 0]，所以P12的row1 = 0個I row1 + 1個I row2 + 0個I row3 = [0 1 0]

同理for other 2 rows of P12。


總共有3!個row permutation matrices for 3x3 matrix。

在高斯消去法中，如果遇到pivot是零的時候，我們會需要做row exchange，這時候相當於就是乘上permutation matrix。

permutation matrix一個特殊的性質為 INV(P) = T(P)。

或是：

for any invertible A, PA = LU

之前說A可以分解成L*U，其中L=高斯消去法每個pivot的elimination matrices的乘積。

事實上這是建築在每次要使用的pivot都非零的理想狀態，如果剛好遇到某一row的pivot為零的時後，事實上我們需要做row exchange，也就是需要乘上一個permutation matrix。

所以比較general的等式應該為下：

當然要能invertible才能用高斯消去法分解出LU，所以標題說以上式子要成立需要invertible A。

Transpose Matrix

高中都學過，簡單的定義就是：

不受transpose operator影響的一種symmetric matrix A = T(A)，就是在對角線呈現鏡像的square matrix：

T(A) * A永遠得到一個symmetric matrix!

這是一個有趣的性質，也不用特別證明，舉例就很清楚，因為計算過程中自然會發現一直在重複計算一樣的式子，進而發現對稱性：

當然如果一定要證明，那就是搞一堆symbol manipulation了 ＠＠：

按照定義，如果 T( T(R)*R ) = T(R)*R，則T(R)*R為一個symmetric matrix。
首先T( T(R)*R ) = 交換括號內的T(R)和R的乘法順序，再個別取transpose，這跟A * B的inverse 為 INV(B)*INV(A)一樣，只是我們不證明（老師沒證明！）

所以T( T(R)*R ) = T(R)*T(T(R)) = T(R)*R。得證？！



好吧，重點在之後的vector spaces，現在關於matrix manipulation告一段落了，之後才是真正的LINEAR ALGEBRA!