Linear Algebra筆記9 - Nullspace of matrix A

定義

包含Ax=0的所有solution x的set，稱為Nullspace N(A)。

Nullspace of matrix A是一個subspace

例如所有以下x組成的R^3的subspace就是一個nullspace:

何以見得？
首先(0 0 0)一定是一個解，所以零向量有了！
再來(1 1 -1)是一組解，事實上(c c -c)都是解！
c(1 1 -1)自動包含了(0  0 0)當c = 0的時候。

所以所有的x解其實是在一條線向量c(1 1 -1)上：

所以我們找到了A的nullspace，是在R^3中的一條線，也是一個subspace沒錯。

但這當然不是一個rigorous的證明。

Nullspace是一個vector space證明

證明某個set是一個vector space只要證明任意元素的linear combination仍然落在此set中即可。

假設v, w都是Ax = 0的解，所以Av = 0, Aw = 0
我們檢視某linear combination cv+dw是否也是Ax=0的解？

A(cv+dw) = A*cv + A*dw    /* 矩陣乘法對加法的分配律 */
= cAv + dAw = 0 + 0 = 0

得證。

Nullspace和Column space是兩種創建subspace的方法

nullspace是用限制條件去長出subspace，必須符合Ax=0以及subspace的定義
column space是給用幾個建構vector去linear combine成一個符合subspace定義的subspace

兩者事實上用不同的approach在描述一個subspace的建立過程。