Probability筆記67 - Expected value of Expected values 範例

學貸人生？！

如果隨機選一群學生的話，平均會選到20名學生（好奇怪的事件描述）。每個學生平均欠的學費為5000元，請問隨機選一群學生的話，總共欠費的期望值是多少？

令Y 為選到學生的數目，令X為學生欠費的值，X和Y為independent，則我們是要求 E(X1 + X2 + ... + XY)

不過這樣無法按照定義寫出任何可以計算的方式，加總的項目數量是變數，但是可以改寫成以下：

E( E(X1 + X2 + ... Xy | Y = y) )

為什麼可以寫成上式？
inner expectation是特定y的前提之下，X sum的expected value，即所求。
outer expectation是所有Y的X sum的expected value。

所以
E(X1 + X2 + ... Xy | Y = y)
= E(X1 | Y = y) + ... + E(Xy | Y = y)
= E(X1) + ... E(Xy)    /* X,Y are independent */
= E( 5000 * y )
= 5000 * y

所以
E( E(X1 + X2 + ... Xy | Y = y) )
= E( 5000 * y )
= 5000 * E(Y) /* all ys */
= 5000 * 20
= E(X) * E(Y)

General Rule for independent X, Y