Linear Algebra筆記11 - 解Ax=0的演算法 (reduced row echelon form)

Reduced Row Echelon Form

延續上一篇我們得到的echelon form U:

可以更近一步簡化成reduced row echelon form Ｒ。

主要概念就是脫離高斯消去法的規則，不只消去pivot位置下的column item，而是連pivot上方都可以消去。另外可以把常數項提出row來消去。

我們把pivot (2,3) 所在的row2 * -1 加入到row1:

把row2 提出2來：

這就完成了reduced row echelon form R。

注意pivot column和pivot row形成的2x2 matrix是一個identity matrix:

我們變成解此Rx=0，不過不論是Ax=0, Ux=0，全都不改變nullspace：

此Ｒ根據pivot和free variables分成Identity part和Free part:

發現跟我們原本選的任意特定兩組解不謀而合，只有sign相反（當然老師是故意選這兩組解）：

我用I和F矩陣來表示R:

注意I和F都是 #rank rows，I是 #rank columns，F是 n-#rank columns。
我們把Rx = 0中的x用nullspace matrix N來表示，因為N的columns組成就是此 nullspace的linear combination的係數。

RN = 0，一組明顯的N根據R的表示式可以得出：