LAFF筆記2 - 高斯消去法

System of Equations表示法

以下三種都是同一組equations的表示：

高斯消去法

是一個系統性的解linear equations題目的方法，適合電腦程式化。
高斯消去法最終形式就是要把一個equations削減成upper triangular form。

舉例過程如下：

三個空格依序是2 , 3, 1.6，最後得到一個upper triangular system，最後透過back substitution先解決X2 -> X1 -> X0，這就是upper triangular system的好處。

所以我們得出解答的vector:

Matrix form elimination

當然我們也可以寫成matrix form，然後把答案的vector寫入最右邊的appended column，類似以下：

Gauss Transform

這是一個elimination matrix ，乘上我們要解決的equations形成的matrix:

row picture乘法：matrix在左邊的時候，左邊matrix row 1 為右邊matrix 每個row的linear combination係數，之後放入等號右邊的第一個row:

所以等號右邊的一個row =
1 * [ 2 4 -2 ] + 0 * [4 -2 6] + 0 * [6 -4 2] = [ 2 4 -2]

左邊這個matrix 代表了第一步的gaussian elimination，並非全部：

所以我們可以把所有Gaussian Elimination的係數寫成一個matrix，變成一個transformation稱為Gauss transform。