Probability 筆記1 - Sample space

disjoint events

event就是一個包含某些outcomes的集合，若說某兩個events are disjoint，意思是這兩個event中的outcome完全沒有彼此重複的。如果outcome a發生在event A，則outcome a不可能在disjoint event B中發生。A與B沒有交集。

一個最顯著的例子就是event A以及其補集complement of A。

Event

一個event就是一堆可能發生的outcome的集合，通常用set notation來表示。例如投擲兩顆公正的骰子X and Y，和為10的event：

{  (i, j) | 1 <= i, j <= 6 && i + j = 10 }

以上是event的set描述式，我們也可以展開描述式填入實值：
{ (4,6),  (5,5), (6,4) }

Sample space

sample space是包含所有outcomes的set，但是以set notation的寫法並沒有一定型態，因為可以把sample space分成好幾個events，而所有這些events的聯集就是sample space，所以以擲銅板無限次為例，以下的兩種寫法都表現出同一個sample space:

n個outcome的sample space所形成的所有possible events (所有subset) 數目，是2^n個，因為一個subset可能有或沒有某一個outcome，這樣就是一個tree的branch，以tree來想的話就比較簡單。

MIT課程補充

sample space的set成員要有以下性質：

mutually exclusive outcome:永遠只有一個會發生，不會同時有兩個outcomes發生

collectively exhaustive: sample space擁有所有可能發生的outcomes

right granularity: 這是指sample space只要包含跟問題有關的outcomes，例如值一個銅板的sample space應該是下圖上者，而非下者，雖然兩者都包含mutually exclusive / collectively exhaustive outcomes